Hjälp med matteproblem

[Gixxer Rolle]

Är det någon som är duktig på matte/fysik som kan hjälpa mig med ett problem?

En kamrat hävdar att om du skjuter rakt upp i luften med ett gevär så kommer kulan när den vänt och slår i marken ha samma hastighet som den hade när den lämnade geväret.

Förutsättning:
Utgångshastighet 900m/s.
Kulbana rakt upp och rakt ner.
Ej i vacum.
Vikt 15gram.

Hoppas någon kan hjälpa mig med detta och gärna med en uppställd formel.

 

[Xyron]

Kulan faller ju fritt, och i frittfall kan kulan bara komma upp i en viss hastighet. Tror det är runt 250m/s. Inte säker dock på hastigheten.

 

[Gixxer Rolle]

Kulan faller ju fritt, och i frittfall kan kulan bara komma upp i en viss hastighet. Tror det är runt 250m/s. Inte säker dock på hastigheten.

Det är vad jag tror också men jag behöver ett bevis, tex en uträkning som visar detta eller att kulan faller med samma hastighet som vid utskjutet.

 

[i_fieL_good]

Pga luftmotståndet kommer hastigheten på kulan när den slår i marken att vara lägre än när den avfyrades. I vacuum hade din polares påstående varit korrekt. Formeln borde bli någon form av differentialekvation, eftersom luftmotståndet är relativt hastigheten i kvadrat.

Men sorry, jag kan inte ställa upp diffektvationen åt dig.

 

[Jussi]

Det där funderade jag på också tills dom uppfann internet.

http://www.straightdope.com/classics/a950414b.html

Grejen är väl att då man skjuter ut kulan så snurrar det runt sin egen axel och hålls på så sätt med spetsen framåt -> mindre luftmotstånd. Då den däremot faller ner så kan den snurra hursomhelst och på så sätt ha mer luftmotstånd och uppnå "terminal velocity" alltså en högsta fart som i länken ovan var ca 300 fot per sekund (91.44 m/s).

Så att i en perfekt värld, med samma friktion på uppvägen som på nervägen, skulle väl kulan ha samma hastighet ner som upp, men i riktiga världen funkar det inte så.

 

[flyger]

Om man bortser från luftmotståndet så stämmer det.

Energin kulan har kommer bara att omvandlas mellan olika former.
Lägesenergi och kinetiskenergi.

När kulan precis avfyratskommer den i princip bara ha kinetiskenergi och när den vänder har den bara lägesenergi. För att när den återkommer till marken igen åter har kinetiskenergi. Men lite energi kommer att ha omvandlats till värme pga friktionen mot luften.

formeln för kinetisk energi: m*v^2/2
formeln för lägesenergi: m*g*h

adderar dem får du ett föremåls totala energi: m*v^2/2 + m*g*h

 

[i_fieL_good]

Så att i en perfekt värld, med samma friktion på uppvägen som på nervägen, skulle väl kulan ha samma hastighet ner som upp, men i riktiga världen funkar det inte så.

Fel! Även om friktionen är den samma på uppvägen som nedvägen kommer hastigheten att vara lägre när den kommer ner än när den sköts upp. Friktionen på uppvägen tar ju inte ut friktionen på nervägen, utan både 'uppåt' friktionen och 'nedåt' friktionen bidrager till att minska hastigheten.

 

[ft]

Hastigheten vid nerslaget kan beräknas.

Edit: Det nedanstående är dock en beräkning av sluthastigheten. För att räkna ut nedslagshastigheten får man vackert sätta sig och integrera accelerationen mellan avfyrning och nedslag.

Tyngdkraftens inverkan är

W = m*g

och luftmotståndet

D = q*S*Cd

där

m - massan
g -gravitationskonstanten
Cd - kulans luftmotståndskoefficient
q - Det dynamiska trycket
S - En referensarea, i det här fallet gärna kulans tvärsnittsarea

q = 1/2 * rho * V^2

där

rho - luftens densitet
V - kulans hastighet

Problemet är Cd, som måste bestämmas och som dessutom varierar då kulan tumlar. S kan antingen variera då kulan tumlar eller hållas konstant som t ex kulans största tvärsnittsare vinkelrätt mot längdaxeln, men Cd måste justeras beroende på vad man väljer.

F = m*a

ger att kulans acceleration

a = F/m

Den totala neråtriktade kraften

F = W - D

ger

a = (W-D)/m

Då kulan uppnått sin maximala hastighet neråt är a = 0, d v s

D = W

eller

m * g = 1/2 * rho * V^2 * S * Cd

Bara att lösa ut V och räkna ut sluthastigheten, om man känner de övriga parametrarna.

Om man antar rundkula är Cd känt för runda kroppar av given dimension och man slipper problemet med att kulan tumlar.

Edit: I praktiken kommer kulan aldrig att uppnå sin sluthastighet på väg ner, eftersom W-D går mot noll då V går mot sluthastigheten och a därmed också går mot noll.

Mvh,
/Fredrik

 

[Gixxer Rolle]

Hastigheten vid nerslaget kan beräknas.

Edit: Det nedanstående är dock en beräkning av sluthastigheten. För att räkna ut nedslagshastigheten får man vackert sätta sig och integrera accelerationen mellan avfyrning och nedslag.

Tyngdkraftens inverkan är

W = m*g

och luftmotståndet

D = q*S*Cd

där

m - massan
g -gravitationskonstanten
Cd - kulans luftmotståndskoefficient
q - Det dynamiska trycket
S - En referensarea, i det här fallet gärna kulans tvärsnittsarea

q = 1/2 * rho * V^2

där

rho - luftens densitet
V - kulans hastighet

Problemet är Cd, som måste bestämmas och som dessutom varierar då kulan tumlar. S kan antingen variera då kulan tumlar eller hållas konstant som t ex kulans största tvärsnittsare vinkelrätt mot längdaxeln, men Cd måste justeras beroende på vad man väljer.

F = m*a

ger att kulans acceleration

a = F/m

Den totala neråtriktade kraften

F = W - D

ger

a = (W-D)/m

Då kulan uppnått sin maximala hastighet neråt är a = 0, d v s

D = W

eller

m * g = 1/2 * rho * V^2 * S * Cd

Bara att lösa ut V och räkna ut sluthastigheten, om man känner de övriga parametrarna.

Om man antar rundkula är Cd känt för runda kroppar av given dimension och man slipper problemet med att kulan tumlar.

Edit: I praktiken kommer kulan aldrig att uppnå sin sluthastighet på väg ner, eftersom W-D går mot noll då V går mot sluthastigheten och a därmed också går mot noll.

Mvh,
/Fredrik

Tackar
Detta visar att jag har rätt, dock ska jag prova och räkna ut detta.

 

[Starstriker]

Mja, det där spelar ingen roll. Luftmotstånd är luftmotstånd, oavsett om kulan roterar eller inte. Om den här frågeställningen skall vara intressant så måste ju luftmotståndet vara detsamma både upp och ner, dvs kulans tvärsnittsarea (=angreppsarean/planet med normal i färdriktningen).

Vid utskjutsögonblicket har kulan en viss mängd kinetisk energi som övergår i lägesenergi samt friktionsvärme. Den förlorade hastigheten (förlorade kinetiska energin) är densamma som den avgivna friktionsvärmen.

(Vakum -> ingen friktion och ingen friktionsvärme, dvs hastigheten skulle vara densamma både vid utskjutsögonblicket och vid nedslag....)

Det där funderade jag på också tills dom uppfann internet.

http://www.straightdope.com/classics/a950414b.html

Grejen är väl att då man skjuter ut kulan så snurrar det runt sin egen axel och hålls på så sätt med spetsen framåt -> mindre luftmotstånd. Då den däremot faller ner så kan den snurra hursomhelst och på så sätt ha mer luftmotstånd och uppnå "terminal velocity" alltså en högsta fart som i länken ovan var ca 300 fot per sekund (91.44 m/s).

Så att i en perfekt värld, med samma friktion på uppvägen som på nervägen, skulle väl kulan ha samma hastighet ner som upp, men i riktiga världen funkar det inte så.

 

[ft]

Mja, det där spelar ingen roll.

Jodå, nog spelar det roll. Börjar kulan tumla kommer ballistiska data att vara helt annorlunda. Du glömmer formfaktorn (som Cd kallades i gymnasiefysiken, om jag minns rätt) när du säger att luftmotståndet bara beror på tvärsnittsarean.

Det sannolika är att kulan kommer att gå rakt upp med spetsen först och rakt ner med spetsen sist. Den hinner inte sluta rotera och behåller alltså längdaxeln i den riktning den avfyrades.

Detta ger ändå ett värde på Cd på väg upp och ett annat på väg ner. Är kulan inte en rundkula kommer luftmotståndet att variera.

 

[Starstriker]

Självklart spelar formfaktorn roll. Om kulan tumlar på vägen ner torde det vara solklart för vem som helst att nedslagshastigheten kommer vara betydligt lägre än utgångshastigheten.

Jag tror oklarheten ligger i huruvida kulan har samma nedslagshastighet som utgångshastighet givet att formfaktorn är konstant, något annat kan vi inte räkna med utan kraftfulla datorer.

Jag har i mitt resonemang ovan förenkladt "luftmotståndet" till att vara en konstant (beroende på luftens fysikaliska egenskaper och det som du kallar formfaktor)

Och som sagt, jag hävdar att kinetisk energi övergår till friktionsenergi (=värme). Det är inte svårare än så.

Jodå, nog spelar det roll. Börjar kulan tumla kommer ballistiska data att vara helt annorlunda. Du glömmer formfaktorn (som Cd kallades i gymnasiefysiken, om jag minns rätt) när du säger att luftmotståndet bara beror på tvärsnittsarean.

Det sannolika är att kulan kommer att gå rakt upp med spetsen först och rakt ner med spetsen sist. Den hinner inte sluta rotera och behåller alltså längdaxeln i den riktning den avfyrades.

Detta ger ändå ett värde på Cd på väg upp och ett annat på väg ner. Är kulan inte en rundkula kommer luftmotståndet att variera.

 

[ft]

Jag tror oklarheten ligger i huruvida kulan har samma nedslagshastighet som utgångshastighet givet att formfaktorn är konstant, något annat kan vi inte räkna med utan kraftfulla datorer.

Kolla mitt inlägg ovan. Har man bara ballistiska data (Cd vid färd framåt & Cd vid färd bakåt samt referensarea) så kan man räkna ut nedslagshastigheten med papper och penna*.

Nedslagshastigheten och utgångshastigheten blir samma i vakuum, och endast då. Mynningen antages ligga i nedslagsplanet.

*) Bortsett från att kulan initialt färdas med rejält supersonisk hastighet, vilket gör det betydligt trickigare.